こんにちは (@t_kun_kamakiri)。 先日に 「不連続な関数をフーリエ級数展開したら、ギブスの現象が出るよ」 というのをツイートすると、いいねをしてくれる人が多かったので、記事にしてみようと思います。 ※アニメーションにもしてみました。 「不連続な関数をフーリエ級数展開したら.. どうも、木村（@kimu3_slime）です。 今回は、矩形波のフーリエ級数展開の求め方、ギブス現象とは何かを紹介します。 前提知識：偶関数・奇関数のフーリエ級数、係数の求め方、証明 矩形波とは 矩形波（く.
矩形波（くけいは、Square wave）とは非正弦波形の基本的な一種であり、電子工学や信号処理の分野で広く使われている。理想的な矩形波は2レベルの間を規則的かつ瞬間的に変化するが、その2レベルにはゼロが含まれることも含まれないこともある。方形波とも呼ばれる。
概要
矩形波はデジタルスイッチング回路で広く使われており、binary（2レベル）の論理回路から生成される。厳密に定められた間隔で同期論理回路を動作させるためには矩形波の高速な遷移が適しているので、タイミングの基準や「クロック信号」に使用されている。しかしながら周波数領域グラフからわかるように、矩形波は広帯域の周波数成分を含んでいる。これらは電磁放射や電流のパルスを発生させてしまい、近くの回路に影響を及ぼしその結果、雑音や誤りを引き起こす。精密なAD変換器のような非常に敏感な回路などではこの問題を避けるために、矩形波の代わりに正弦波をタイミング基準として使用する。
理論
フーリエ級数を使用して、無限級数の形で理想的な矩形波を表すことができる。
x
s
q
u
a
r
e
(
t
)
=
4
π
∑
k
=
1
∞
sin
{
(
2
k
−
1
)
2
π
f
t
}
2
k
−
1
{\displaystyle x_{\mathrm {square} }(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin\{{\bigl (}2k-1)2\pi ft\}}{2k-1}}}
フーリエ級数による矩形波の表現で興味深いのはギブズ現象である。理想的ではない矩形波で生じるリンギングは、この現象と関連している。ギブズ現象はシグマ近似を用いることで防ぐことができ、系列がより滑らかに収束するように「Lanczos sigma factors」を使うことができる。
理想的な矩形波には、信号の高値から低値への変化が切れ味よく瞬間的であることが求められる。そのためには無限の帯域幅が必要となるので、現実の世界での達成は不可能である。
現実の世界には有限の帯域幅しか存在しないため、ギブズ現象に似たリンギングやシグマ近似に似たリップルが起きることがよくある。
他の定義
矩形波には数多くの定義があり、不連続の場合を除けばそれぞれ等価である。
シヌソイドと符号関数で表す方法
ヘヴィサイドの階段関数 u(t)や矩形関数 ⊓(t)で表す方法
デューティ比が50%の時にTは2である。また区分的な方法で定義することもできる。
以下の場合において
関連項目
- ヘヴィサイドの階段関数
- パルス波
- 音
- 波動
- 正弦波
- のこぎり波
- Sinc関数
- マルチバイブレータ
- PSG音源
外部リンク
- 矩形波に関係する学術論文 – 何れも『J-STAGE』(科学技術振興機構)より《論文本体へのリンク有》
- 矩形波電流分極法の理論 – 『防食技術』(腐食防食学会)より
- 矩形波ポーラログラフ – 『分析化学』(日本分析化学会)より
- 矩形波駆動による冷蔵庫圧縮機の運転領域の拡張 – 『パワーエレクトロニクス学会誌』(パワーエレクトロニクス学会)より
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